3.6 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ROPIEDAD DE LINEALIDAD

Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").

· Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.

Teorema

Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}

= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1

= 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2. L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =

= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___

s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4

= 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5.