Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.
Decimos que una 
función es continua a trozos si:
está definida y es continua en todo 
, salvo en un finito de 
, para
- Para cada los límites :
existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de 
.
.En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura
implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontínuas.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.
FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Decimos que la función 
es de orden exponencial si existen 
, 
y 
tales que :
para 
.
.Intuitivamente esto significa que la función 
esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.
esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.
Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:
es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:
para algún valor de . Si 
es finito, entonces 
puede ser cualquier número mayor que (y este determina 
). Por otro lado, si 
, no es de orden exponencial.
. Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.Ejemplo
Compruebe que 
es de orden exponencial.
es de orden exponencial.EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
Sea 
una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de 
existe. Es decir, existe un número 
tal que 
existe para 
.
una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .Demostración
Por ser de orden exponencial existen números no negativos , y tales que 
, para . Así que:
de orden exponencial existen números no negativos , y tales que , para . Así que: |  |  |
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La primera integral
es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que
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Ahora, como
siempre y cuando 
, tenemos que la integral
, tenemos que la integral
existe y con ello la transformada.
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