3.15 ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS

Transformada inversa

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCION

3.9 TRANSFORMADA DE INTEGRALES (TEOREMA)

Definición 1.1 (Transformada integral)   La transformada integral  respecto el núcleo  en el intervalo  de la función se define de la forma

Donde  es la variable transformada.

El operador de transformación  es lineal, así como el operación de transformación inversa  .

3.8 TRANSFORMADA DE DERIVACIONES (TEOREMA)

TEOREMA 2: Transformada de una derivada

Si , ',….,(n-1) son continuas en [0,"), son de orden exponencial y si (n) (t) es continua por tramos en [0, "), entonces L { (n) (t) }= sn F(s) - s(n-1) (0) - s(n-2) '(0)-…- (n-1)(0). Donde F(s) = L { (t) }.

3.7 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR TN, Y DIVIDIDAS ENTRE T.

3.10 Teorema de la convoluciòn

En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:

3.9 Transformada de int5egrales (teorema)

La teoría de las transformadas integrales, en especial, de la transformada de Laplace y la de Fourier. La transformación de Laplace es de amplia aplicación en el campo de la electrónica y l teoría de circuitos. Por otra parte, la transformada de Fourier, es de amplia aplicación en el análisis de señales, así como en diferentes campos de la física (teoría de la difracción, mecánica cuántica, etc.). Las transformadas integrales se presentan en forma de apuntes esquemáticos y sin demostraciones.

Definición 1 (Transformada integral)   .1La transformada integral respecto el núcleo en el intervalo de la función se define de la forma

 

Donde es la variable transformada.
El operador de transformación es lineal, así como el operación de transformación inversa .

 

3.8 Transformada de derivadas (teorema)

Sea a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe un número para una función continua existe. Es decir, tal que existe.

Demostración

teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo. que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

 

 

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn entre t

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que F ( s)  £ f (t ) existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

 

 

 

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de  funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para constantes.

 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

 

 

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad a .

 

3.6 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ROPIEDAD DE LINEALIDAD

Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").

· Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.

Teorema

Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}

= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1

= 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2. L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =

= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___

s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4

= 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5.

3.7 transformada de funciones multiplicadas por t elevada a la n y divididas entre t

En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.
Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

es decir

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

Los dos casos precedentes indican el resultado general para

3.6 propiedades de la tranformada de laplace (linealidad,teoremas de traslacion

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para

.constantes.

3.5 funciones escalon unitario

La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como ó y definida como:

Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.
La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:

3.5.1 Transformada de laplace de la funion escalon unitario
Función escalón

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

3.4 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS.

3.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS.

3.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA TRANSFORMARMADA DE LAPLACE.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una  función es continua a trozos si:

1. está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de puntos , para
2. 
3. Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontínuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Decimos que la función     es de orden exponencial si existen números ,  y tales que :

para  .

Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.

Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que es de orden exponencial.

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .

Demostración

Por ser de orden exponencial existen números no negativos ,  y  tales que , para . Así que:

La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando , tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.