3.8 Transformada de derivadas (teorema)

Sea a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe un número para una función continua existe. Es decir, tal que existe.

Demostración

teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo. que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

 

 

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn entre t

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que F ( s)  £ f (t ) existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

 

 

 

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de  funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para constantes.

 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

 

 

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad a .

 

3.6 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ROPIEDAD DE LINEALIDAD

Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").

· Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.

Teorema

Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1. L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}

= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1

= 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2. L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =

= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___

s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4

= 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5.

3.7 transformada de funciones multiplicadas por t elevada a la n y divididas entre t

En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.
Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

es decir

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

Los dos casos precedentes indican el resultado general para

3.6 propiedades de la tranformada de laplace (linealidad,teoremas de traslacion

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para

.constantes.

3.5 funciones escalon unitario

La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como ó y definida como:

Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.
La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:

3.5.1 Transformada de laplace de la funion escalon unitario
Función escalón

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.